무슨 실험인가요?
맨홀 뚜껑이 동그란 이유로 흔히 "구멍에 빠지지 않아서"라고 말합니다. 그런데 네모 뚜껑은 구멍 안으로 빠질 수 있고, 둥근 뚜껑은 어느 방향으로도 안 빠집니다. 진짜 이유는 둥글어서가 아니라 폭이 같아서입니다. 폭은 도형을 평행한 두 판 사이에 끼웠을 때의 거리이고, 어느 방향으로 재도 폭이 똑같은 도형을 「폭이 일정한 도형」이라고 부릅니다. 원이 그렇고, 정삼각형의 세 꼭짓점에서 맞은편 두 꼭짓점을 잇는 원호 셋으로 만든 뢸로 삼각형도 그렇습니다. 뚜껑을 세워 돌려도 폭이 늘 같으면, 구멍 안의 가장 긴 폭보다 큰 뚜껑은 절대 빠지지 않습니다.
이 페이지에는 영상 속 장면이 네 가지 있습니다. 맨홀 뚜껑은 네모 구멍과 고른 도형 구멍에 뚜껑(구멍보다 6% 큼)을 세워 돌린 뒤 떨어뜨립니다. 폭 재기는 도형을 돌리며 폭과 둘레를 잽니다. 굴리기는 도형을 굴림대와 바퀴로 굴려 판 높이와 바퀴 중심 높이를 봅니다. 네모 구멍 드릴은 정사각형 구멍 안에서 도형을 돌려 얼마나 깎이는지 봅니다.
조건을 바꾸면
- 도형을 바꿔 보세요. 영상의 뢸로 삼각형 말고도 뢸로 오각형·칠각형(영국 50펜스 동전이 칠각형), 정삼각형·정사각형·정오각형 같은 보통 다각형을 고를 수 있어요. 뢸로 n각형은 n이 커질수록 원에 가까워지고, 정다각형은 폭이 일정하지 않지만 정오각형은 거의 일정합니다(1.000~1.051).
- 뚜껑 크기는 구멍 대비 뚜껑의 비율입니다(영상은 1.06). 구멍과 같은 모양이라도 1보다 작으면 눕혀 놓기만 해도 빠지고, 크면 세워서 돌려야 빠질 수 있어요. 오른쪽 아래 빠지는 각도 지도는 뚜껑을 돌린 각도(세로)와 구멍 안의 방향(가로)을 모두 훑어 어디가 빠지는 자리인지 보여 주고, 지도를 눌러도 그 각도로 맞춰져요.
- 굴리기에서 판 높이가 일정하면 판이 덜컹이지 않습니다. 네모 굴림대는 높이가 1.0~1.41로 출렁입니다. 바퀴 중심 높이는 원이 늘 0.500, 뢸로 삼각형은 0.423~0.577로 오르내립니다. 판을 굴림대 위에 올리면 판은 평평하게 가지만, 같은 도형을 바퀴 삼아 축을 달면 축이 이만큼 위아래로 흔들립니다.
- 드릴에서는 뢸로 삼각형이 네모 구멍을 98.77%까지 깎습니다. 원은 π/4 = 78.5%뿐이고, 뢸로 오각형은 87.9%입니다. 구멍에 들어가는 가장 큰 크기(가장 넓은 폭 = 구멍 한 변)로 맞춰 돌립니다.
계산 규칙과 한계
영상 계산을 브라우저에서 직접 다시 했습니다(영상 제작 쪽의 파이썬 계산 결과 대신 같은 기하를 JS로). 폭은 도형 경계 점을 한 방향에 투영한 최댓값−최솟값입니다. 둘레는 경계 다각형 길이로, 원과 뢸로 삼각형 모두 π×폭 = 3.1416입니다(바르비에, 1860). 맨홀은 세운 뚜껑을 위에서 본 가로 길이 L(뚜껑의 돌림각 σ에 따라 바뀜)이 구멍 안의 가장 긴 현 H(구멍 안 방향 ψ에 따라 바뀜)보다 짧을 때만 빠진다고 판정합니다. 영상의 "1.06 < 1.41 빠짐"은 L=1.06, 대각선 H=1.41인 경우입니다. 뚜껑이 두께 0.09만큼 있지만 판정에서는 얇은 판으로 보고, 비스듬히 기울여 세운 경우는 따지지 않습니다. 걸려 멈추는 높이는 뚜껑의 가로 폭이 구멍 현과 같아지는 곳으로 계산합니다.
굴림은 미끄러지지 않고 구르는 도형의 중심 위치를 경계 다각형으로 직접 계산해서 그립니다(영상은 중심 x를 일정하게 근사). 굴림대 판 높이는 영상과 같은 규칙입니다. 판이 가는 거리를 굴림대 폭으로 나눈 만큼 굴림대가 돌고(굴림대 셋은 처음 각도가 0.9라디안씩 달라요), 판 높이는 가장 높은 굴림대의 위끝 높이입니다. 폭이 일정하지 않은 도형에서는 이 돌림 비율이 실제 미끄러짐 없는 관계와 조금 다를 수 있어서, 같은 규칙을 쓴 근사입니다. 드릴은 도형을 한 주기(뢸로 삼각형은 120°)에 480단계로 나눠 돌리며, 각 단계에서 도형의 경계 상자 중심을 정사각형 중심에 맞춘 뒤, 192×192칸 격자에서 도형이 덮은 칸을 모읍니다. 격자라서 98.77%가 98.77±0.1% 정도로 나옵니다(영상의 표본값은 98.76%, 식은 2√3+π/6−3).
이 실험이 다루지 않는 것: 영상의 3D 드릴로 쇠판에 구멍을 내는 장면, 뚜껑 윗면의 무늬, 소리와 음악은 옮기지 않았습니다. 폭 곡선·빠지는 각도 지도·진행 그래프는 영상에 없던 조작·확인용 화면입니다.
출처: Wikipedia "Manhole cover"·"Reuleaux triangle"·"Curve of constant width"·"Watts Brothers Tool Works", 미국 특허 1,241,176(1917, 해리 와츠).
