무슨 실험인가요?
드론이 목표 높이(2.4m)에서 1m 아래로 툭 밀렸습니다. 컴퓨터는 "벗어난 만큼"을 보고 모터 힘을 정해 다시 올려 보냅니다. 힘을 너무 약하게 걸면 느리게 돌아오고, 세게 걸었다고 항상 빨리 돌아오는 것은 아닙니다. 영상에서 Kp를 9에서 50으로 올리자 드론이 점점 크게 흔들리다 바닥에 떨어진 것처럼요.
이 흔들림이 가라앉을지 커질지를 극점이라는 점의 위치가 정합니다. 오른쪽 그림(s평면)에서 점이 왼쪽이면 흔들림이 가라앉고, 허수축(금색 세로선) 위면 같은 크기로 계속 흔들리고, 오른쪽이면 점점 커집니다. 점이 왼쪽으로 멀수록 빨리 가라앉고, 위아래로 멀수록 빨리 출렁입니다. 라플라스 변환은 이 "미분 방정식 풀기"를 "점 찾기"로 바꿔 주는 도구입니다.
직접 만져 볼 것
- 극점 끌기: s평면의 네모 점을 끌어 보세요. 그 자리에 점이 놓이도록 Kp·Kd를 거꾸로 계산해서, 높이 그래프와 드론 움직임이 바로 바뀝니다. 오른쪽으로 넘기면 드론이 점점 크게 흔들려요. 점 두 개(위아래 짝)는 늘 거울처럼 같이 움직입니다.
- Kp (비례 이득): 벗어난 만큼에 곱하는 힘. 영상은 9 → 50으로 올려 추락시켰습니다.
- Kd (미분 이득): 움직이는 속도에 거는 제동. Kp 50은 그대로 두고 Kd만 6 → 12로 올리면 다시 버팁니다.
- Ki (적분 이득): 처진 높이가 쌓인 만큼 더 밀어 올립니다. 바람이 계속 누를 때 처짐을 0으로 되돌리지만, 너무 세면 다시 흔들려요. 영상에는 없는 항목이라 0이 영상 값입니다.
- 모터 지연 τ: 모터가 명령을 따라오는 데 걸리는 시간. 0이면 모터가 즉시 반응하는 2차 모형(영상 앞부분), 0.15가 영상입니다. 무대 오른쪽 막대에서 "명령"을 "실제 힘"이 늦게 따라오는 게 보여요.
- 바람: 계속 아래로 누르는 힘(영상은 4.5). Ki가 0이면 처짐이 바람 ÷ Kp(Kp 9에서 50cm)로 남습니다.
- 높이 그래프를 누르거나 끌면 그 시각에 멈춰서 드론을 볼 수 있어요. "슬로 ¼×"는 영상의 슬로 연출입니다.
계산 규칙과 한계
영상 계산(sim.py)과 같은 모형입니다. 드론은 질량 1, 위가 +인 높이 z. 명령 u = −(Kp·z + Kd·z' + Ki·∫z), 모터는 τ·f' = u − f를 따라 힘 f를 내고, z'' = f − 바람. 시간은 영상과 같은 RK4 방식, 간격 1/600초로 적분합니다. 출발은 목표 1m 아래(z = −1, 속도 0, 힘 0), 바닥은 목표 2.4m 아래, 천장은 3m 위입니다. 극점은 특성방정식 τs⁴ + s³ + Kd·s² + Kp·s + Ki = 0(Ki = 0이면 s로 나눈 τs³ + s² + Kd·s + Kp = 0)의 근을 직접 풉니다. 영상 숫자와 대조한 결과(테스트로 고정): Kp 9·Kd 6은 1.7초에 정착, Kp 50·Kd 6은 3.77초에 바닥, Kp 44는 8.76초에 바닥, Kp 40은 정확히 경계, Kp 50·Kd 12는 2.1초에 정착, 바람 4.5에서 Kp 9는 −50cm, Kp 50·Kd 12는 −9cm. 시간응답 곡선은 영상 sim.json과 0.0001m 안에서 같습니다.
극점 끌기는 점이 놓이도록 Kp와 Kd 두 값을 정확히 풀어 줍니다(τ와 Ki는 그대로). 그래서 한 번에 움직일 수 있는 건 위아래 짝 하나이고, 나머지 점은 따라서 움직입니다. 2차 모형(τ = 0)에서 점을 오른쪽으로 보내려면 Kd가 음수여야 해서, 이 실험은 음수 이득도 받아 줍니다(영상의 "가정 사례"와 같습니다). 실제 제어기에서 음수 이득은 일부러 흔들림을 키우는 값입니다. 점이 보이는 범위 밖으로 나가면 가장자리에 화살표로 표시하고, 범위 버튼으로 넓힐 수 있습니다.
한계: 이 모형은 위아래 한 방향만 보는 단순화입니다. 기울기·옆 바람·센서 오차·모터 한계는 없고, 힘은 무한히 커질 수 있다고 가정합니다(막대는 ±110까지만 그립니다). "정착"은 ±5cm 안에 들어와 9초 끝까지 머무는 것으로 정했고, 영상의 표(1/30초 간격)와 달리 여기는 1/120초 간격이라 정착 시각이 최대 0.03초 다를 수 있습니다. 화면의 드론 3D 그림, 폭발, 바닥은 영상 그림 코드를 그대로 옮겼고, 영상에 없는 Ki·바람 조절·극점 끌기는 영상과 같은 식을 확장한 것입니다.
